确定最少观测次数是相位恢复、矩阵恢复中的一个基本问题。采用代数簇的方法，给出了通过无相位观测恢复几乎所有信号所需最少观测次数 [1]，并进一步将其扩展到恢复几乎所有低秩矩阵所需最少观测次数 [2]。对复稀疏信号的相位恢复问题，研究了L1模型的性能，成功将压缩感知中的主要结果扩展到无相位观测 [3]，并给出了求解稀疏信号相位恢复的S-PhaseLiftOff模型及求解算法 [4]。框架在相位恢复中扮演重要角色。其中一个基本问题是达到p-势能最小的框架位置，人们通过大量数值计算，猜想了其位置。我们证明了该猜想成立 [5]。
所提出的研究相位恢复的代数簇方法，逐渐发展为研究最少观测次数的理论基础。解决了能否利用L1模型，能否通过O(k logd)次无相位观测恢复k-稀疏信号的开问题。
与本成果相关的论文：
1.Yu Xia and Zhiqiang Xu, Sparse phase retrieval via Phaseliftoff, IEEE Transactions on Signal Processing, Page(s): 2129-2143, Vol.69, 18, 2021.1.
2.Meng Huang, Yi Rong, Yang Wang and Zhiqiang Xu, Almost Everywhere Generalized Phase Retrieval, Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 50, January 2021, Pages 16-33.
3.Yi Rong, Yang Wang and Zhiqiang Xu, Almost everywhere injectivity conditions for the matrix recovery problem, Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol.50 January 2021, Pages 386-400.
4.Yu Xia and Zhiqiang Xu, The recovery of complex sparse signals from few phaseless measurements, Applied and Computational Harmonic Analysis, Volume 50,2021.
5.Zhiqiang Xu and Zili Xu, The minimizers of the p-frame potential, Applied and Computational Harmonic Analysis, Volume 52, May 2021, Pages 366-379.